RPS - Wartość oczekiwana i wariancja zmiennych losowych - zadania

Zad. 1. Dwóch przyjaciół - jeden jest nałogowym hazardzista i uwielbia grać w ruletkę. Za każdym razem stawia 10zł na liczbę 13 i jeśli ta liczba wypada (a jest ona jedną 38 liczb na kole ruletki), wygrywa z powrotem swoje 10zł + 350zł, w przeciwnym przypadku 10zł przepada. Jego przyjaciel postanawia wyleczyć go z nałogu. Przed każdą wizytą w kasynie zakłada się z nim o 200zł, że po 36 obstawieniach będzie do tyłu. Jak dobrze działa takie lekarstwo? Zad. 2. Na kinowy seans "dla singli" spóźniło się 15 singli: 8 mężczyzn i 7 kobiet. Ponieważ jest już ciemno (i nie chcą przeszkadzać innym) siadają losowo w pierwszym rzędzie (który ma 16 miejsc). Ile będzie średnio par mężczyzna-kobieta siedzących obok siebie? Zad. 3. Niech X, Y niezal. zm. losowe o wart. nat. znaleźć wzory na wart. ocz. min(X,Y) i max(X,Y). Wskazówka: Dla min skorzystać ze wzoru na wart. ocz. zm. los. o wart. naturalnych, tzn. EX=\sum_{i=1}^{\infty}P(X>=i), dla max skorzystać z liniowości i tego, że min+max=X+Y. Zad. 4. Paradoks z kopertami - szczególny przypadek. Gramy w następującą grę: Ktoś rzuca monetą aż do wypadnięcia pierwszego orła, powiedzmy, że orzeł wypadł w i-tym rzucie. Następnie do dwóch kopert wkłada odpowiednio 2^i i 2^(i+1) zł. Dostajemy losowo wybraną kopertę i mamy zdecydować czy chcemy wziąć tę drugą czy nie. (a) Powiedzmy, że otrzymaliśmy kopertę z kwotą 2^i zł. Obliczyć wartość oczekiwaną kwoty w drugiej kopercie i porównać z 2^i. (b) Wyjaśnić dlaczego to nie jest kompletnie bez sensu... Zad. 5. Paradoks petersburski. Kasyno oferuje następującą grę. Krupier rzuca monetą do momentu wypadnięcia pierwszego orła. Jeśli pierwszy orzeł wypada w i-tym rzucie, wygrywamy 2^i zł. Ile warto zapłacić za granie w tę grę? Wskazówka: Żeby otrzymać jakikolwiek praktyczny wynik można założyć, że kasyno ma skończoną ilość gotówki i tyle wynosi maksymalna wypłata, niezależnie od tego kiedy wypadnie pierwszy orzeł. Z.d. 6.2. Zad. 6. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu geometrycznego. Ćw. 6.4. Zad. 7. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Poissona. Ćw. 6.4. Zad. 8. Zad. 6 i 7, ale używając funkcji tworzących. Ćw. 6.4. Zad. 9. Kolekcjoner kuponów. Kupujemy gumy, w każdej jest losowa historyjka, ile gum trzeba średnio kupić, żeby zebrać wszystkie historyjki? Jakie jest odchylenie standardowe tej wielkości? Ćw. 7.1.